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La teoria algebrica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che usa le tecniche dell'algebra astratta per studiare gli interi, i razionali e le loro generalizzazioni. In questo modo, i problemi teorici sui numeri possono essere espressi in termini di proprietà di oggetti algebrici come i campi algebrici di numeri e i loro anelli di interi, i campi finiti, e il campo delle funzioni. Queste proprietà, come se un anello ammetta fattorizzazione unica, il comportamento degli ideali e i gruppi di Galois dei campi, possono risolvere problemi di primaria importanza nella teoria dei numeri, come l'esistenza di soluzioni delle equazioni diofantee.

In matematica, una serie di Dirichlet è una qualunque serie della forma ∑ n = 1 ∞ a n n s , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},} dove s e i coefficienti an sono numeri complessi. La serie di Dirichlet riveste un ruolo importante in teoria dei numeri analitica. La funzione zeta di Riemann può essere scritta come serie di Dirichlet nel semipiano Re(s) > 1, così come le funzioni L di Dirichlet. Le serie di Dirichlet prendono il nome dal matematico tedesco Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

In matematica, il principio di Dirichlet, il cui nome si deve a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, trova applicazioni nella teoria del potenziale. Esso afferma che, se la funzione u ( x ) {\displaystyle u(x)} è una soluzione della equazione di Poisson: Δ u + f = 0 {\displaystyle \Delta u+f=0} in un dominio Ω {\displaystyle \Omega } di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} con condizione al contorno u = g {\displaystyle u=g} su ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } , allora u {\displaystyle u} può essere ottenuto come il valore che minimizza l'energia di Dirichlet: E [ v ( x ) ] = ∫ Ω ( 1 2 | ∇ v | 2 − v f ) d x {\displaystyle E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x} tra tutte le funzioni doppiamente differenziabili v {\displaystyle v} tali per cui v = g {\displaystyle v=g} su ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } . Ciò alla condizione che esista almeno una funzione che renda l'integrale di Dirichlet inferiormente limitato. Che tale valore inferiore esista sempre era dato per scontato da Riemann (che coniò il termine "principio di Dirichlet") ed altri, fino a quando Weierstraß diede un esempio di una funzione che si avvicina quanto si vuole all'estremo inferiore, senza mai raggiungerlo. In seguito però David Hilbert, nel 1900, diede una dimostrazione rigorosa dell'esistenza, in ogni caso, di un estremo inferiore, giustificando l'assunzione di Riemann.

La Germania (/ʤerˈmanja/), ufficialmente Repubblica Federale di Germania (in tedesco: Bundesrepublik Deutschland , [ˈbʊndəsʀepʊˌbliːk ˈdɔʏ̯ʧˌlant]) e nel linguaggio comune più semplicemente Deutschland, è uno Stato membro dell'Unione europea situato nell'Europa centro-occidentale, repubblica federale parlamentare di sedici stati (Bundesländer) con capitale, nonché maggiore città per numero di abitanti, Berlino. Bagnata a nord dal mare del Nord e dal mar Baltico, confina a nord con la Danimarca, ad est con la Polonia e la Repubblica Ceca, a sud con Austria e Svizzera, e a ovest con Francia, Lussemburgo, Belgio e Paesi Bassi. Il territorio della Germania copre una superficie di 357 578 km² ed è caratterizzato da un clima atlantico nella parte nord-occidentale e continentale nella parte sud-orientale. Con 83 019 200 abitanti, è lo stato più popoloso dell'Unione europea, il secondo stato d'Europa dopo la Russia e il 17º del mondo per popolazione. È anche il secondo paese del mondo per numero di immigrati dopo gli USA.La regione denominata oggi Germania fu abitata da diversi popoli germanici, conosciuti e documentati già dal 100 a.C. A partire dal X secolo questi territori tedeschi hanno dato contributo alla parte centrale del Sacro Romano Impero che si protrasse sotto varie forme fino al 1806. Nel corso del XVI secolo, il nord della Germania divenne il centro della Riforma protestante. Come moderno stato nazionale, il Paese venne unificato nel 1871 dopo la Guerra franco-prussiana. Nel 1949, dopo la Seconda guerra mondiale, la Germania venne divisa in due stati separati – Repubblica Federale di Germania (Germania Occidentale o BRD) e Repubblica Democratica Tedesca (Germania Orientale o DDR) – lungo i confini d'occupazione alleati. I due Stati si riunificarono solo nel 1990. La Germania Occidentale fu un membro fondatore della Comunità economica europea (CEE) nel 1957 (che divenne Unione europea nel 1992). Partecipa dal 1995 agli accordi di Schengen e ha adottato la moneta unica europea, l'euro, nel 2002 in sostituzione del marco tedesco. La Germania è altresì un membro dell'ONU, della NATO, dell'Unione europea, del G7, del G4 e firmatario del protocollo di Kyoto. La Germania è la quarta potenza economica mondiale dopo Stati Uniti, Cina e Giappone; è la quarta più grande economia in termini di PIL nominale e la quinta in termini di parità di potere d'acquisto. È il secondo più grande paese esportatore dopo la Cina e il secondo importatore di merci. In termini assoluti, la Germania assegna il secondo più grande bilancio annuale in aiuti allo sviluppo internazionale mentre le sue spese militari la classificano come sesta. Il Paese ha sviluppato un elevato standard di vita e detiene una posizione chiave negli affari europei oltre ad una moltitudine di strette partnership a livello globale. La Germania è riconosciuta come capolista in vari settori scientifici e tecnologici.