Fattore di sconto stocastico
In economia finanziaria, il concetto di fattore di sconto stocastico (con voce inglese, stochastic discount factor, da cui la sigla SDF con cui spesso indicato, anche in lingua italiana) alla base di una formulazione della teoria dell'asset pricing, sviluppata a partire da una serie di lavori di Lars Hansen e altri autori. Il fattore di sconto stocastico determina il prezzo di qualsiasi attivit finanziaria, e riassume le conclusioni dei teoremi fondamentali dell' asset pricing. Sotto una serie di ipotesi, lo SDF pu essere giustificato tramite un modello di equilibrio economico generale.
Denotando il valore futuro (all'istante di tempo
t
+
1
{\displaystyle t+1}
) di un generico titolo
i
{\displaystyle i}
tramite
x
i
t
+
1
{\displaystyle x_{it+1}}
, e il suo prezzo attuale tramite
p
i
t
{\displaystyle p_{it}}
, il fattore di sconto stocastico una variabile casuale
m
t
{\displaystyle m_{t}}
tale che:
p
i
t
=
E
t
[
m
t
+
1
x
i
t
+
1
]
{\displaystyle \ p_{it}={\mbox{E}}_{t}[m_{t+1}x_{it+1}]}
per ogni titolo
i
{\displaystyle i}
, dove
E
t
{\displaystyle {\mbox{E}}_{t}}
denota il valore atteso condizionato all'informazione disponibile all'istante
t
{\displaystyle t}
. La popolarit di tale formulazione legata alla sua immediatezza (essenzialmente consta dell'espressione sopra), nonch al fatto che collega ambiti della teoria classica dell'asset pricing in precedenza distanti tra loro in un unico quadro analitico; in generale, un qualunque modello volto a determinare il prezzo di un'attivit finanziaria pu essere visto come un modello di SDF.
In una formulazione in tempo continuo, il fattore di sconto stocastico definito come un processo stocastico positivo
{
(
t
)
}
{\displaystyle \{\xi (t)\}}
che soddisfa l'equazione differenziale stocastica:
d
(
t
)
=
(
t
)
r
(
t
)
d
t
(
t
)
(
t
)
d
w
(
t
)
{\displaystyle \ d\xi (t)=-\xi (t)r(t)dt-\xi (t)\lambda (t)^{\top }d\mathbf {w} (t)}
dove
{
r
(
t
)
}
{\displaystyle \{r(t)\}}
il processo del tasso d'interesse privo di rischio,
{
w
(
t
)
}
{\displaystyle \{\mathbf {w} (t)\}}
un vettore moto browniano standard, e
(
t
)
{\displaystyle \lambda (t)}
il vettore dei prezzi del rischio di mercato (in inglese market price of risk), uguale a:
1
(
t
)
(
S
(
t
)
r
(
t
)
1
)
{\displaystyle \Sigma ^{-1}(t)\left({\mathcal {S}}(t)-r(t)\mathbf {1} \right)}
dove
{\displaystyle \Sigma }
la matrice varianze-covarianze dei rendimenti istantanei delle attivit finanziarie scambiate nell'economia,
S
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(t)}
il vettore dei loro prezzi, e
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
denota un vettore conforme avente ogni elemento uguale a 1.
Nel caso in cui
w
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {w} (t)}
sia di dimensione 1,
(
t
)
{\displaystyle \lambda (t)}
uno scalare, dato da:
(
t
)
=
(
t
)
r
(
t
)
(
t
)
{\displaystyle \lambda (t)={\frac {\mu (t)-r(t)}{\sigma (t)}}}
dove
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)}
e
(
t
)
{\displaystyle \sigma (t)}
sono rispettivamente il rendimento istantaneo atteso e la volatilit istantanea di un titolo e
r
{\displaystyle r}
il rendimento istantaneo privo di rischio: si tratta di un indice di Sharpe. In equilibrio,
(
t
)
{\displaystyle \lambda (t)}
sar identico per tutti i titoli scambiati sul mercato (ossia, per qualunque scelta della coppia
{
(
t
)
,
(
t
)
}
{\displaystyle \{\mu (t),\sigma (t)\}}
). La condizione sui prezzi, in un modello in tempo continuo, data da:
E
[
d
(
S
)
]
=
0
{\displaystyle {\mbox{E}}\left[d(\xi S)\right]=0}
dove
S
(
t
)
{\displaystyle S(t)}
denota il prezzo di un'attivit finanziaria.
