Metodo delle tangenti
In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
che contiene una sola radice.
Il metodo consiste nel sostituire alla curva
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicit si pu iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa
x
t
{\displaystyle x_{t}}
del punto in cui la tangente interseca l'asse delle
x
{\displaystyle x}
internamente all'intervallo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
Procedendo in modo iterativo si dimostra che la relazione di ricorrenza del metodo
x
n
+
1
=
x
n
f
(
x
n
)
f
(
x
n
)
,
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},}
che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione
y
=
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle y=f(x)=0}
. Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle
x
n
{\displaystyle x_{n}}
converge alla radice piuttosto rapidamente.
Pi in dettaglio, si dimostra che se
f
C
2
(
I
)
{\displaystyle f\in C^{2}(I)}
dove
I
{\displaystyle I}
un opportuno intorno dello zero
{\displaystyle \alpha }
con
f
(
)
0
{\displaystyle f'(\alpha )\neq 0}
e se
x
0
I
,
{\displaystyle x_{0}\in I,}
allora
lim
n
+
x
n
+
1
(
x
n
)
2
=
f
(
)
2
f
(
)
,
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\alpha -x_{n+1}}{(\alpha -x_{n})^{2}}}=-{\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}},}
cio la convergenza quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), bench locale (cio non vale per ogni
I
{\displaystyle I}
). Se invece la radice multipla, cio
f
(
)
=
0
{\displaystyle f'(\alpha )=0}
allora la convergenza lineare (pi lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita
{\displaystyle \tau }
, il procedimento iterativo si fa terminare quando
|
x
n
+
1
x
n
|
<
|
x
n
+
1
|
.
{\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<\tau \cdot |x_{n+1}|.}
Il problema di questo metodo che la convergenza non garantita, in particolare quando
f
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
varia notevolmente in prossimit dello zero. Inoltre, il metodo assume che
f
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
sia disponibile direttamente per un dato
x
{\displaystyle x}
. Nei casi in cui questo non si verifichi e risultasse necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, consigliabile usare il metodo della secante.
