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In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da: un campo, i cui elementi sono detti scalari; un insieme, i cui elementi sono detti vettori; due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.Si tratta di una struttura algebrica di grande importanza, ed è una generalizzazione dell'insieme formato dai vettori del piano cartesiano ordinario (o dello spazio tridimensionale) dotati delle operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale. Gli spazi vettoriali più utilizzati sono quelli sui campi reale R {\displaystyle \mathbb {R} } e complesso C {\displaystyle \mathbb {C} } , denominati rispettivamente "spazi vettoriali reali" e "spazi vettoriali complessi". Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: questi servono innanzitutto per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e delle equazioni differenziali lineari. Con queste equazioni si trattano moltissime situazioni: quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella teoria dei segnali, nella biologia molecolare, ecc. Negli spazi vettoriali si studiano anche sistemi di equazioni e disequazioni e in particolare quelli che servono alla programmazione matematica e in genere alla ricerca operativa. Strutture algebriche preliminari agli spazi vettoriali sono quelle di gruppo, anello e campo. Vi sono poi numerose strutture matematiche che generalizzano e arricchiscono quella di spazio vettoriale; alcune sono ricordate nell'ultima parte di questo articolo.

In matematica lo spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo. Sono stati introdotti dal celebre matematico David Hilbert all'inizio del XX secolo e hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale e armonica. Il loro interesse risiede nella conservazione di alcune proprietà degli spazi euclidei in spazi di funzioni infinito-dimensionali. Grazie agli spazi di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi arbitrarie. Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spazio vettoriale) su cui è definito un prodotto scalare (quindi è possibile parlare di distanze, angoli, ortogonalità) e tale che sia garantita la completezza, ovvero che qualunque successione di Cauchy ammetta come limite un elemento dello spazio stesso. Nelle applicazioni i vettori elementi di uno spazio di Hilbert sono frequentemente successioni di numeri complessi o funzioni. È cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica, dove uno stato fisico può essere rappresentato da un elemento (vettore o ket) o da una opportuna combinazione lineare di elementi di tale spazio. Lo stato fisico contiene informazioni che possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento che appartiene a un nuovo spazio di Hilbert (detto duale) che è chiamato funzione d'onda. Nello spazio di Hilbert dei ket a volte si considerano gli spazi di Hilbert allargati, che consentono di formalizzare sia stati liberi sia stati legati attraverso la teoria delle distribuzioni.

In matematica uno spazio di Banach è uno spazio normato completo rispetto alla metrica indotta dalla norma.Gli spazi di Banach furono studiati inizialmente da Stefan Banach, da cui hanno preso il nome, e costituiscono un oggetto di studio molto importante dell'analisi funzionale: molti spazi di funzioni sono, infatti, spazi di Banach.