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La provincia di Arezzo è una provincia italiana della Toscana di 337 836 abitanti. È quarta tra le province toscane sia per il numero di abitanti sia per quanto riguarda la superficie. Confina con l'Emilia-Romagna (provincia di Forlì-Cesena e provincia di Rimini) a nord-est, con la provincia di Firenze a nord-ovest, con le Marche (provincia di Pesaro e Urbino) e con l'Umbria (provincia di Perugia) a est e con la provincia di Siena a sud-ovest. La provincia amministra anche una piccola exclave situata all'interno dei confini della provincia di Rimini, le cui località sono frazioni del comune di Badia Tedalda.

Arezzo () è un comune italiano di 98 101 abitanti, capoluogo dell'omonima provincia in Toscana. Fu sede della più antica università della Toscana, e una delle prime in Europa. Importante centro orefice e di alta moda, vanta inoltre di essere la città nella quale è girato lo storico film da record La vita è bella di Roberto Benigni, campione di incassi. È inoltre la patria di artisti e poeti quali Francesco Petrarca, Giorgio Vasari, e nelle vicinanze di Michelangelo Buonarroti. Famosa per gli affreschi di Piero della Francesca all’interno della cappella della basilica di San Francesco e per il crocifisso di Cimabue all’interno della chiesa di San Domenico, è nota anche per l’importante Giostra del Saracino, che divide la città in 4 quartieri.

La provincia di Arezzo è una provincia italiana della Toscana di 337 836 abitanti. È quarta tra le province toscane sia per il numero di abitanti sia per quanto riguarda la superficie. Confina con l'Emilia-Romagna (provincia di Forlì-Cesena e provincia di Rimini) a nord-est, con la provincia di Firenze a nord-ovest, con le Marche (provincia di Pesaro e Urbino) e con l'Umbria (provincia di Perugia) a est e con la provincia di Siena a sud-ovest. La provincia amministra anche una piccola exclave situata all'interno dei confini della provincia di Rimini, le cui località sono frazioni del comune di Badia Tedalda.

La provincia di Perugia è un ente locale territoriale dell'Umbria che ha come capoluogo Perugia e conta 655 666 abitanti. Dal 1927 al 1933 ebbe come sigla automobilistica PU, successivamente assunse la sigla PG. Confina a nord e a est con le Marche (provincia di Pesaro e Urbino, provincia di Ancona, provincia di Macerata e provincia di Ascoli Piceno), a sud con il Lazio (provincia di Rieti) e con la provincia di Terni, a ovest con la Toscana (provincia di Siena e provincia di Arezzo). È la provincia più estesa dell'Umbria e con i suoi 59 comuni è la prima provincia umbra per numero di suddivisioni, di cui occupa i tre quarti del territorio e la settima dell'intero territorio nazionale. La provincia si estendeva in tutto il territorio umbro tanto che in passato era nota anche come provincia dell'Umbria, comprese Rieti e la Sabina sino al 4 marzo 1923 che per decreto regio furono unite alla provincia di Roma fino al 1927, anno d'istituzione della provincia di Rieti (costituita con parte del territorio aquilano) e della provincia di Terni.

La provincia di Siena è una provincia italiana della Toscana di 266 961 abitanti, con capoluogo Siena, la settima provincia toscana per popolazione e la seconda per superficie, contando 35 comuni, compreso il capoluogo. Confina a nord con la città metropolitana di Firenze, a nord-est con la provincia di Arezzo, a sud-est con l'Umbria (province di Perugia e Terni), a sud con il Lazio (provincia di Viterbo), a sud-ovest con la provincia di Grosseto e a ovest con la provincia di Pisa. La Provincia di Siena con i suoi 4 patrimoni UNESCO è, insieme a quella di Firenze, la provincia con più patrimoni UNESCO della Toscana e una delle più ricche in Italia.

La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso; un semplice esempio di gruppo è dato dall'insieme dei numeri interi, con l'operazione dell'addizione. Tipico esempio di gruppo è fornito dalle rotazioni di uno spazio vettoriale euclideo S, cioè dall'insieme costituito da tutte le rotazioni di S (trasformazioni che lasciano fissa l'origine di S, mantengono le distanze tra i punti di S e si possono ottenere con movimenti continui). Muniamo l'insieme delle rotazioni di S con l'operazione di composizione delle rotazioni; si osserva che componendo due di queste rotazioni si ottiene un'altra rotazione; inoltre la rotazione identità, cioè la trasformazione che lascia fisso ogni punto di S, svolge il ruolo di elemento neutro per la composizione delle rotazioni. Ovviamente ad ogni rotazione esiste la sua 'inversa' che per composizione ripristina la situazione iniziale. Le rotazioni di S e la loro composizione costituiscono quindi un gruppo detto gruppo delle rotazioni di S; lo denotiamo con GrpRot(S). Restringiamo poi l'insieme delle rotazioni di S a quelle che trasformano in se stessa una certa figura geometrica F, ad esempio un cubo, un prisma regolare o una piramide. È evidente che la composizione di due di queste rotazioni fornisce un'altra rotazione che lascia invariata la figura F. Con ciascuna di queste richieste di invarianza si individua un gruppo contenuto in GrpRot(S). Questi gruppi sono detti sottogruppi di GrpRot(S). Questi esempi possono servire a farsi una prima idea del fatto che la teoria dei gruppi è lo strumento matematico per lo studio delle simmetrie delle figure geometriche e di altri oggetti che si incontrano nella matematica, nella fisica e nelle altre discipline che si avvalgono di modelli matematici e di procedure computazionali. Una buona gamma di definizioni di termini utilizzati per sviluppare la teoria dei gruppi è raccolta nel glossario di teoria dei gruppi.