biblio toscana

"La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore \n \n \n \n a\n \n \n {\\displaystyle a}\n \xc3\xa8 medio proporzionale tra la minore \n \n \n \n b\n \n \n {\\displaystyle b}\n e la somma delle due \n \n \n \n (\n a\n +\n b\n )\n \n \n {\\displaystyle (a+b)}\n :\n\n \n \n \n \n \n \n a\n +\n b\n \n a\n \n \n =\n \n \n a\n b\n \n \n \n \n \n \n \n =\n \n \n def\n \n \n \n \n \n \xcf\x86\n \n \n {\\displaystyle {\\frac {a+b}{a}}={\\frac {a}{b}}\\ {\\stackrel {\\text{def}}{=}}\\ \\varphi }\n Valgono pertanto le seguenti relazioni:\n\n \n \n \n \n \n a\n b\n \n \n =\n \n \n \n a\n +\n b\n \n a\n \n \n =\n 1\n +\n \n \n b\n a\n \n \n =\n 1\n +\n \n \n 1\n \n a\n b\n \n \n \n \n \n {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}={\\frac {a+b}{a}}=1+{\\frac {b}{a}}=1+{\\frac {1}{\\frac {a}{b}}}}\n Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di \n \n \n \n \xcf\x86\n \n \n {\\displaystyle \\varphi }\n possiamo anche scrivere\n\n \n \n \n \xcf\x86\n =\n 1\n +\n \n \n 1\n \xcf\x86\n \n \n \n \n {\\displaystyle \\varphi =1+{\\frac {1}{\\varphi }}}\n \xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83(1)da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi\n\n \n \n \n \n \xcf\x86\n \n 2\n \n \n \xe2\x88\x92\n \xcf\x86\n \xe2\x88\x92\n 1\n =\n 0\n \n \n {\\displaystyle \\varphi ^{2}-\\varphi -1=0}\n \xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83\xe2\x80\x83(2)La soluzione positiva di tale equazione (unica ammissibile essendo \n \n \n \n \xcf\x86\n \n \n {\\displaystyle \\varphi }\n una quantit\xc3\xa0 positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:\n\n \n \n \n \xcf\x86\n =\n \n \n \n 1\n +\n \n \n 5\n \n \n \n 2\n \n \n \xe2\x89\x88\n 1,618\n 0339887\n \n \n {\\displaystyle \\varphi ={\\frac {1+{\\sqrt {5}}}{2}}\\approx 1{,}6180339887}\n (3)La sezione aurea \xc3\xa8 quindi un numero irrazionale (ovvero non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di \n \n \n \n \n \n 5\n \n \n \n \n {\\displaystyle {\\sqrt {5}}}\n nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Pu\xc3\xb2 essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi \n \n \n \n (\n \n \n 3\n 2\n \n \n ,\n \n \n 5\n 3\n \n \n ,\n \n \n 8\n 5\n \n \n ,\n .\n .\n .\n )\n \n \n {\\displaystyle ({\\frac {3}{2}},{\\frac {5}{3}},{\\frac {8}{5}},...)}\n della successione di Fibonacci a cui \xc3\xa8 strettamente connessa.\nI due segmenti \n \n \n \n a\n \n \n {\\displaystyle a}\n e \n \n \n \n b\n \n \n {\\displaystyle b}\n possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo \xc3\xa8 pari a \n \n \n \n (\n \n \n 1\n 2\n \n \n a\n +\n \n \n \n 5\n \n 2\n \n \n a\n )\n \n \n {\\displaystyle ({\\frac {1}{2}}a+{\\frac {\\sqrt {5}}{2}}a)}\n e la sua altezza \xc3\xa8 pari ad \n \n \n \n a\n \n \n {\\displaystyle a}\n : il loro rapporto in base alla (3) d\xc3\xa0 proprio la sezione aurea.\nSe nella (1) si sostituisce iterativamente alla \n \n \n \n \xcf\x86\n \n \n {\\displaystyle \\varphi }\n a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a \n \n \n \n \xcf\x86\n \n \n {\\displaystyle \\varphi }\n otteniamo la frazione continua:\n\n \n \n \n \xcf\x86\n =\n 1\n +\n \n \n 1\n \n 1\n +\n \n \n 1\n \n 1\n +\n \n \n 1\n \n 1\n +\n \n \n 1\n \n 1\n +\n .\n .\n .\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n {\\displaystyle \\varphi =1+{\\frac {1}{1+{\\frac {1}{1+{\\frac {1}{1+{\\frac {1}{1+...}}}}}}}}}\n \nUn'altra rappresentazione di \n \n \n \n \xcf\x86\n \n \n {\\displaystyle \\varphi }\n come frazione continua \xc3\xa8 costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo:\n\n \n \n \n \xcf\x86\n =\n 1\n +\n \n \n 1\n \n \n 1\n \n 2\n \n \n +\n \n \n \n 1\n \n 2\n \n \n \n \n 1\n \n 2\n \n \n +\n \n \n \n 2\n \n 2\n \n \n \n \n 2\n \n 2\n \n \n +\n \n \n \n 6\n \n 2\n \n \n \n \n 3\n \n 2\n \n \n +\n \n \n \n 15\n \n 2\n \n \n \n \n 5\n \n 2\n \n \n +\n \n \n \n 40\n \n 2\n \n \n \n \n 8\n \n 2\n \n \n +\n \n \n \n 104\n \n 2\n \n \n \n \n 13\n \n 2\n \n \n +\n .\n .\n .\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n {\\displaystyle \\varphi =1+{\\frac {1}{1^{2}+{\\frac {1^{2}}{1^{2}+{\\frac {2^{2}}{2^{2}+{\\frac {6^{2}}{3^{2}+{\\frac {15^{2}}{5^{2}+{\\frac {40^{2}}{8^{2}+{\\frac {104^{2}}{13^{2}+...}}}}}}}}}}}}}}}\n Le sue propriet\xc3\xa0 geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte pi\xc3\xb9 grande e quella pi\xc3\xb9 piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne \xc3\xa8 la storia del nome che in epoche pi\xc3\xb9 recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino."

"La geometria euclidea \xc3\xa8 un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell'area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero gi\xc3\xa0 conosciute dai matematici, egli mostr\xc3\xb2 come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico. Gli Elementi di Euclide incominciano con un'analisi della geometria piana, attualmente insegnata nelle scuole secondarie e utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni. Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite non euclidee."

'La geometria (dal latino geometr\xc4\xada e questo dal greco antico "\xce\xb3\xce\xb5\xcf\x89\xce\xbc\xce\xb5\xcf\x84\xcf\x81\xce\xaf\xce\xb1", composto dal prefisso geo che rimanda alla parola \xce\xb3\xce\xae = "terra" e \xce\xbc\xce\xb5\xcf\x84\xcf\x81\xce\xaf\xce\xb1, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra) \xc3\xa8 quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.\n\n'