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In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna tra due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un altro vettore che è normale al piano formato dai vettori di partenza. Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo × {\displaystyle \times } o con il simbolo ∧ {\displaystyle \wedge } . Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il prodotto esterno (o prodotto wedge) nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale.

In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata A {\displaystyle A} è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice. Esso viene generalmente indicato con det ( A ) {\displaystyle \det(A)} e, a volte, con | A | {\displaystyle |A|} . Quest'ultima notazione è più compatta, ma anche più ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice.Il determinante è un potente strumento usato in vari settori della matematica: innanzitutto nello studio dei sistemi di equazioni lineari, quindi nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nello Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, nella teoria combinatoria, ecc. Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata A {\displaystyle A} di ordine n {\displaystyle n} come trasformazione lineare di uno spazio vettoriale a n {\displaystyle n} dimensioni: con questa interpretazione, il valore assoluto di det ( A ) {\displaystyle \det(A)} è il fattore con cui vengono modificati i volumi degli oggetti contenuti nello spazio (anche se ciò è improprio senza considerare il significato di misura). Se è diverso da zero, il segno del determinante indica inoltre se la trasformazione A {\displaystyle A} preserva o cambia l'orientazione dello spazio rispetto agli assi di riferimento.

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una applicazione multilineare è una funzione che generalizza il concetto di applicazione lineare a più variabili. Esempi classici di applicazioni multilineari sono: una applicazione lineare, il determinante e la traccia, un prodotto scalare o una più generale forma bilineare.Le applicazioni multilineari sono anche alla base della definizione di tensore e forma differenziale, e sono quindi molto usate in topologia differenziale nello studio delle varietà differenziabili. Hanno in particolare importanti applicazioni in fisica, specialmente in relatività generale. Sono sinonimi i termini funzione e mappa multilineare.

L'algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari. Gli spazi vettoriali sono un tema centrale nella matematica moderna; l'algebra lineare è usata ampiamente nell'algebra astratta, nella geometria e nell'analisi funzionale. L'algebra lineare ha inoltre una rappresentazione concreta nella geometria analitica. Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche fenomeni più complessi, non solo della fisica ma anche delle scienze naturali e sociali, possono essere studiati e ricondotti con le dovute approssimazioni a un modello lineare.