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L'algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari. Gli spazi vettoriali sono un tema centrale nella matematica moderna; l'algebra lineare è usata ampiamente nell'algebra astratta, nella geometria e nell'analisi funzionale. L'algebra lineare ha inoltre una rappresentazione concreta nella geometria analitica. Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche fenomeni più complessi, non solo della fisica ma anche delle scienze naturali e sociali, possono essere studiati e ricondotti con le dovute approssimazioni a un modello lineare.
In matematica, una σ-algebra (pronunciata sigma-algebra) o tribù (termine introdotto dal gruppo Bourbaki) su di un insieme Ω {\displaystyle \Omega } , è una famiglia di sottoinsiemi di Ω {\displaystyle \Omega } che ha delle proprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l'operazione di unione numerabile e di passaggio al complementare. La struttura di σ-algebra è particolarmente utile nelle teorie della misura e probabilità ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di funzioni. Essa è un caso particolare di algebra di insiemi e, rispetto a quest'ultima, è utilizzata molto più ampiamente in Analisi (per via delle numerose proprietà che le misure definite su σ-algebre hanno rispetto alle operazioni di passaggio al limite). Le σ-algebre che ricorrono più spesso in matematica sono le σ-algebre boreliane e la σ-algebra di Lebesgue. Anche storicamente queste due classi di σ-algebre hanno motivato lo sviluppo del concetto stesso di σ-algebra, nato a cavallo di XIX secolo e XX secolo col fine di formalizzare la teoria della misura. Esso, infatti, precisa l'idea euristica di evento o insieme misurabile. Molte importanti strutture astratte, al centro dei progressi della matematica dell'ultimo secolo, sono definibili mediante σ-algebre.
L'algebra di Boole (anche detta algebra booleana o reticolo booleano), in matematica e logica matematica, è il ramo dell'algebra in cui le variabili possono assumere solamente i valori vero e falso (valori di verità), generalmente denotati rispettivamente come 1 e 0.
In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna tra due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un altro vettore che è normale al piano formato dai vettori di partenza. Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo × {\displaystyle \times } o con il simbolo ∧ {\displaystyle \wedge } . Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il prodotto esterno (o prodotto wedge) nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale.
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una applicazione multilineare è una funzione che generalizza il concetto di applicazione lineare a più variabili. Esempi classici di applicazioni multilineari sono: una applicazione lineare, il determinante e la traccia, un prodotto scalare o una più generale forma bilineare.Le applicazioni multilineari sono anche alla base della definizione di tensore e forma differenziale, e sono quindi molto usate in topologia differenziale nello studio delle varietà differenziabili. Hanno in particolare importanti applicazioni in fisica, specialmente in relatività generale. Sono sinonimi i termini funzione e mappa multilineare.
L'algebra di Grassmann o algebra esterna di un dato spazio vettoriale V {\displaystyle V} sopra un campo K {\displaystyle K} è una certa algebra associativa dotata di elemento neutro, generata dalla definizione di un prodotto esterno o prodotto wedge scritto come ∧ {\displaystyle \wedge } . È denotata con ( Λ ( V ) , ∧ ) {\displaystyle \left(\Lambda (V),\,\wedge \right)} e contiene V {\displaystyle V} come sottospazio. Le algebre esterne sono molto utilizzate nella geometria differenziale e nella geometria algebrica (algebra esterna delle forme differenziali) oltre che nell'algebra multilineare e nei settori collegati. Il prodotto esterno è associativo e bilineare; la sua proprietà essenziale è che sia alternante su V {\displaystyle V} : v ∧ v = 0 {\displaystyle v\wedge v=0} per tutti i vettori v ∈ V {\displaystyle v\in V} ossia: u ∧ v = − v ∧ u {\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u} per ogni vettore u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} , e v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k = 0 {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0} qualora v 1 , … , v k ∈ V {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V} siano linearmente dipendenti.Il concetto di prodotto esterno generalizza i concetti di prodotto vettoriale e di triplo prodotto scalare della geometria euclidea tridimensionale. Esso fornisce un modo algebrico astratto, indipendente dalla scelta di una base, per descrivere il determinante e i minori di una trasformazione lineare. È quindi collegato alle idee di indipendenza lineare e di rango. L'algebra di Grassmann è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione graduata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).
