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La matematica (dal greco (m thema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; (mathematik s) significa "incline ad apprendere") la disciplina che studia le quantit (i numeri), lo spazio, le strutture e i calcoli.Per l'origine del termine occorre andare al vocabolo egizio maat, nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Simbolo geometrico di questo ordine un rettangolo, da cui sorge la testa piumata della dea egizia Maat, personificazione dei concetti di ordine, verit e giustizia. Figlia di Ra, unico Uno, creatore di ogni cosa, la sua potenza demiurgica limitata e ordinata da leggi naturali e matematiche. All'inizio del papiro di Rhind si trova questa affermazione: "Il calcolo accurato la porta d'accesso alla conoscenza di tutte le cose e agli oscuri misteri". Il termine maat riappare in copto, in babilonese e in greco. In greco la radice ma, math, met entra nella composizione di vocaboli contenenti le idee di ragione, disciplina, scienza, istruzione, giusta misura, e in latino il termine materia indica ci che pu essere misurato. Col termine matematica di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantit , estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti propriet degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a propriet meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi). La potenza e la generalit dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di regina delle scienze: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.

Un'operazione aritmetica, in matematica, è un'operazione binaria tra numeri: partendo da almeno due numeri, detti «operandi», si ottiene un unico risultato (che è anch'esso un numero), dipendente dal tipo di operazione od «operatore» utilizzato. Ogni operazione è identificata da un simbolo. Oltre all'operazione diretta esiste l'operazione inversa, che permette di risalire dal risultato ai numeri iniziali.

L'aritmetica modulare (a volte detta aritmetica dell'orologio poiché su questo principio si basa il calcolo delle ore a cicli di 12 o 24) rappresenta un importante ramo della matematica. Trova applicazioni nella crittografia, nella teoria dei numeri (in particolare nella ricerca dei numeri primi) ed è alla base di molte delle più comuni operazioni aritmetiche e algebriche. Si tratta di un sistema di aritmetica degli interi, in cui i numeri "si avvolgono su loro stessi" ogni volta che raggiungono i multipli di un determinato numero n, detto modulo. L'aritmetica modulare e la notazione usuale delle congruenze vennero formalmente introdotte da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801.

Vedi congruenza (geometria) per il termine usato in geometria elementare.In matematica e soprattutto in algebra e in geometria, una relazione di congruenza, chiamata anche semplicemente congruenza, è una relazione di equivalenza compatibile con alcune operazioni algebriche.

Un'espressione matematica è un insieme di numeri legati da segni di operazioni matematiche, detti operatori matematici.

L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche. Ciò è di grande utilità perché: consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a per ogni a e b), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali; consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero x {\displaystyle x} tale che 3 ⋅ x + 2 = 10 {\displaystyle 3\cdot x+2=10} ); consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono x {\displaystyle x} biglietti, allora il profitto sarà 10 x − 5 {\displaystyle 10x-5} euro").Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono a + 3 {\displaystyle a+3} e x 2 − 3 {\displaystyle x^{2}-3} . Un'equazione è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: x 2 − 1 = 4 {\displaystyle x^{2}-1=4} . Essi sono detti soluzioni o zeri dell'equazione.

La storia della matematica ha origine con il concetto di numero e con le prime scoperte matematiche, proseguendo attraverso l'evoluzione nel corso dei secoli dei propri metodi e delle notazioni matematiche il cui uso si sussegue nel tempo. Un aspetto importante della matematica consiste nel fatto che essa si è sviluppata indipendentemente in culture completamente differenti arrivando in molti casi agli stessi risultati: spesso un contatto o una reciproca influenza tra popoli differenti ha portato all'introduzione di nuove idee e a un avanzamento delle conoscenze matematiche, a volte si è visto invece un regredire improvviso della cultura matematica presso alcuni popoli; la matematica moderna ha invece potuto avvalersi dei contributi di persone di tutti i paesi. L'attività svolta dai matematici moderni è molto diversa da quella dei primi matematici delle civiltà antiche; inizialmente la matematica si basò sul concetto di numero, concetto sviluppatosi nella preistoria. La matematica è stata infatti una tra le prime discipline a svilupparsi: evidenze archeologiche mostrano la conoscenza rudimentale di alcune nozioni matematiche molto prima dell'invenzione della scrittura.

In matematica, la prova del nove è un test di controllo, semplice ma non infallibile, per verificare l'esattezza del risultato di un'operazione aritmetica tra numeri interi, attraverso il raffronto delle radici numeriche degli operandi e del risultato. La prova è basata sulle proprietà congiunte della matematica modulare in modulo 9 (mod 9) e delle proprietà aritmetiche del numero 9 stesso, che permettono una notevole semplificazione del calcolo della congruità, in quanto coincidente con la radice numerica. La prova del nove solitamente si insegna nella scuola elementare quale scorciatoia per verificare la moltiplicazione tra due numeri, senza dover ripetere interamente l'algoritmo di computo generalmente lungo, ma può essere estesa anche alle altre operazioni addizione, sottrazione e divisione (con opportune precauzioni) comprese quella con resto. La prova del nove non assicura, però, completamente la certezza dell'esito: se è negativo, il risultato dell'operazione sarà senz'altro errato; se è positivo, vi è comunque l'11% di probabilità, 1 su 9, di un falso positivo, cioè che il risultato dell'operazione sia comunque errato nonostante l'esito positivo della prova.

In matematica si chiamano postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri. Generalmente forniscono il punto di partenza per delineare un quadro teorico come può essere quello della teoria degli insiemi, della geometria, dell'aritmetica, della teoria dei gruppi o nel calcolo delle probabilità. Nella logica matematica l'idea di assioma e dimostrazione viene completamente formalizzata. Gli assiomi di una teoria proposizionale o di una teoria del primo ordine sono un ben definito insieme di formule che possono essere usate nella teoria per costruire dimostrazioni formali. In questo ambito si fa una netta distinzione tra le due nozioni di assioma logico e assioma non-logico.