La trigonometria sferica è un ramo della geometria sferica che si occupa delle relazioni tra lati ed angoli dei poligoni ed in particolare dei triangoli costruiti su una sfera. È di notevole importanza per i calcoli astronomici e per la navigazione sia aerea che terrestre. Il primo trattato di trigonometria sferica è stato scritto da Al-Jayyani, un matematico arabo, nel 1060 d.C.

In trigonometria, il teorema della corda esprime la lunghezza della corda tracciata lungo una circonferenza e l'angolo sotteso dalla corda stessa. Data una circonferenza di raggio R {\displaystyle R} , e una corda tracciata tra due punti A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} della circonferenza, l'angolo sotteso dalla corda stessa con vertice al centro della circonferenza detto angolo al centro; ciascun angolo sotteso dalla corda e con vertice sulla circonferenza detto angolo alla circonferenza A B = 2 R sin = 2 R sin 2 {\displaystyle {\overline {AB}}=2R\ \sin \alpha =2R\ \sin {\frac {\beta }{2}}} ,dove {\displaystyle \alpha } l'angolo alla circonferenza e {\displaystyle \beta } l'angolo al centro. Osserviamo che una corda sottende due tipi diversi di angoli alla circonferenza: la corda taglia infatti la circonferenza in due parti. Gli angoli che hanno il vertice sulla parte pi grande sono acuti, quelli con il vertice sulla parte pi piccola sono ottusi. Poich la somma di un angolo del primo tipo con un angolo del secondo tipo un angolo piatto, si ha che sin 1 = sin ( 2 ) = sin 2 {\displaystyle \sin \alpha _{1}=\sin(\pi -\alpha _{2})=\sin \alpha _{2}} ,per cui l'enunciato del teorema non presenta alcuna ambiguit .

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti. Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole. a = B C ¯ , α = C A ^ B {\displaystyle a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B} b = A C ¯ , β = A B ^ C {\displaystyle b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C} c = A B ¯ , γ = B C ^ A {\displaystyle c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A} Vale quindi a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = a b c 2 S = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R} dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone. La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo: a : b : c = sin ⁡ α : sin ⁡ β : sin ⁡ γ {\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma } .