La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell'area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici, egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico. Gli Elementi di Euclide incominciano con un'analisi della geometria piana, attualmente insegnata nelle scuole secondarie e utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni. Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite non euclidee.
In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare: mediante l'equiestensione tra figure: mediante relazioni tra segmenti:
Euclide (in greco antico: Εὐκλείδης, Eukléidēs; IV secolo a.C. – III secolo a.C.) è stato un matematico e filosofo greco antico. Si occupò di vari ambiti, dall’ottica all’astronomia, dalla musica alla meccanica, oltre, ovviamente, alla matematica. Gli "Elementi", il suo lavoro più noto, è una delle più influenti opere di tutta la storia della matematica e fu uno dei principali testi per l'insegnamento della geometria dalla sua pubblicazione fino agli inizi del ‘900.
Il V postulato di Euclide è il postulato più conosciuto fra quelli che il matematico Euclide enuncia nei suoi Elementi. I matematici si sono cimentati per più di duemila anni nel tentativo di dedurlo dai primi quattro postulati, finché nell'Ottocento hanno effettivamente dimostrato la sua indeducibilità. Modificando questo postulato si creano geometrie diverse, dette non euclidee.
In geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante i legami tra i segmenti omologhi creati sulle trasversali da un fascio di rette parallele. L'enunciazione e la dimostrazione sono per tradizione, come vuole il nome, attribuite a Talete di Mileto, filosofo greco, a cui il mito attribuisce altri 4 teoremi geometrici, anche se gli storici della matematica sono concordi nell'attribuirgliene la conoscenza ma non la reale paternità, in quanto parrebbe che le proprietà di proporzionalità, espresse nel teorema, fossero già note fin dai tempi degli antichi babilonesi (in un testo del XVII secolo a.C. ca., cfr. Revue d'Assyriologie, XXXI, pp. 61 ss). La prima dimostrazione di cui si abbia documentazione è quella contenuta negli Elementi di Euclide risalente al III secolo a.C. In inglese, con Thales' Theorem si intende di solito il teorema secondo cui un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.
Il lemma di Euclide è una generalizzazione della Proposizione 30 del Libro VII degli Elementi di Euclide. Il lemma afferma che Se un numero n, intero positivo, divide il prodotto di due numeri a e b, interi positivi, ed è coprimo con uno dei due (es. a), allora è divisore dell'altro (es. b).Utilizzando le usuali notazioni matematiche, ciò si può scrivere come segue: Se n|ab e MCD(n, a) = 1 allora n|b.La Proposizione 30, nota anche come primo teorema di Euclide, afferma: Se un numero primo divide il prodotto di due interi positivi, allora il numero primo divide almeno uno dei due interi positivi.Ciò si può scrivere come: Se p|ab allora p|a oppure p|b.Naturalmente, questo risultato si può dedurre immediatamente dal lemma di Euclide, in quanto un numero primo è coprimo con un numero intero se e solo se non lo divide. Spesso la Proposizione 30 viene chiamata lemma di Euclide in luogo della generalizzazione sopra citata. Un'applicazione molto comune del lemma di Euclide nei libri di testo di matematica è la dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica che, peraltro, può essere dimostrato senza farne uso.
Gli Elementi (in greco antico: Στοιχεῖα, Stoichêia) di Euclide (matematico greco attivo intorno al 300 a.C.) sono la più importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Contengono una prima formulazione di quella che oggi è conosciuta con il nome di geometria euclidea, rappresentando un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo. Oggi questi principi vengono formulati in modo più generale con i metodi dell'algebra lineare. La formulazione fatta da Euclide viene però ancora insegnata nelle scuole secondarie per fornire un primo esempio di sistema assiomatico e di dimostrazione rigorosa. L'opera consiste di 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze (in particolare il decimo libro riguarda la teoria degli incommensurabili) e gli ultimi tre la geometria solida. Alcune edizioni più antiche attribuiscono ad Euclide anche due ulteriori libri che la critica moderna assegna però ad altri autori. I diversi libri sono strutturati in definizioni e proposizioni (enunciati che potremmo anche chiamare teoremi). Delle proposizioni vengono fornite le dimostrazioni.
