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In fluidodinamica le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di tre equazioni di bilancio (equazioni alle derivate parziali) della meccanica dei continui, che descrivono un fluido viscoso lineare; in esse sono introdotte come leggi costitutive del materiale la legge di Stokes (nel bilancio cinematico) e la legge di Fourier (nel bilancio energetico). Le equazioni devono il loro nome a Claude-Louis Navier e a George Stokes. Queste equazioni corrispondono all'approssimazione di Chapman del primo grado delle equazioni di bilancio. In modo corrispondente, le equazioni di bilancio di Eulero costituiscono la prima e più importante approssimazione (corrispondono all'approssimazione di grado zero dell'espansione), mentre le equazioni di Burnett costituiscono la seconda approssimazione nella espansione asintotica, che tiene conto di effetti del secondo ordine. La soluzione analitica delle equazioni nel caso generale rappresenta uno dei problemi irrisolti della matematica moderna (i cosiddetti 7 problemi per il millennio), per il quale è stato istituito il premio Clay. Soluzioni analitiche particolari si hanno in casi semplificati, mentre soluzioni approssimate si ottengono tipicamente ricorrendo ai metodi propri dell'analisi numerica, e all'uso congiunto del calcolatore.

Le equazioni di Maxwell (così dette poiché elaborate da James Clerk Maxwell) sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari accoppiate (due vettoriali e due scalari, per un totale di otto equazioni scalari) che, insieme alla forza di Lorentz, costituiscono le leggi fondamentali che governano l'interazione elettromagnetica.Utilizzate nella fisica classica, esprimono l'evoluzione temporale e i vincoli a cui è soggetto il campo elettromagnetico in relazione alle distribuzioni di carica e corrente elettrica da cui è generato. Raggruppano ed estendono le leggi dell'elettromagnetismo, note fino alla metà del XIX secolo, tra cui la legge di Gauss per il campo elettrico e la legge di Faraday. Tale sintesi fu compiuta da Maxwell che, aggiungendo la corrente di spostamento alla legge di Ampère, rese simmetriche le equazioni che descrivono il campo elettrico e il campo magnetico in modo classico, ovvero non quantistico. Si rende visibile in questo modo come essi siano due manifestazioni di una stessa entità, il campo elettromagnetico. Il settore dell'elettromagnetismo che studia i campi elettromagnetici trascurandone gli aspetti quantistici è l'elettrodinamica classica. Le quattro equazioni mostrano come i campi elettrici dinamici, cioè variabili nel tempo, sono in grado di generare campi magnetici e viceversa, unificando così, a livello teorico e in maniera perfettamente simmetrica, l'elettricità con il magnetismo, già espressa sperimentalmente nella legge di Faraday-Neumann-Lenz. Lo stesso Maxwell osservò che le equazioni ammettono soluzioni ondulatorie, il che condusse alla scoperta delle onde elettromagnetiche e in particolare fu spiegata la natura della luce, fino ad allora oggetto di varie speculazioni teoriche. I campi elettromagnetici, introdotti inizialmente come entità matematica, acquistarono una loro propria realtà fisica potendo esistere indipendentemente dalle sorgenti che li hanno generati.

Un'equazione trascendente è un'equazione contenente funzioni trascendenti dell'incognita e, quindi, non riconducibile ad un polinomio uguagliato a zero. Tra le equazioni trascendenti più comuni vi sono: Le equazioni goniometriche o trigonometriche, in cui l'incognita appare come argomento delle funzioni goniometriche. Le equazioni esponenziali, in cui l'incognita compare come esponente. Le equazioni logaritmiche, in cui l'incognita appare come argomento del logaritmo. Le equazioni trascendenti miste, in cui l'incognita appare in almeno due funzioni trascendenti (esponenziale, logaritmo, funzioni goniometriche) o in almeno una funzione trascendente e in un polinomio.A differenza di quelle algebriche che, salvo il caso banale 0 = 0, hanno sempre un numero finito di soluzioni, le equazioni trascendenti possono avere infinite soluzioni (ad esempio nel caso di sin ⁡ ( π x ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi x)=0} , che è uguale a zero in tutti i numeri interi). Inoltre, spesso non è possibile risolvere equazioni trascendenti tramite metodo algebrico: nella maggior parte dei casi (specie nelle miste) risulta impossibile determinare il valore esatto di una soluzione. Tuttavia, sfruttando le proprietà delle funzioni in cui appare l'incognita (specie la continuità), è possibile stabilirne l'esistenza e il numero, quindi cercare un'approssimazione del risultato secondo i metodi per una risoluzione approssimata, forniti dall'analisi numerica.

In matematica, un'equazione di secondo grado o quadratica ad un'incognita x {\displaystyle x} è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma: a x 2 + b x + c = 0 (con a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad {\mbox{(con }}a\neq 0{\mbox{)}}} ,dove a , b , c {\displaystyle a,b,c} sono numeri reali o complessi. Per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell'equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.Sono poi particolarmente semplici da risolvere le cosiddette equazioni incomplete, dove alcuni coefficienti sono uguali a zero. Il grafico della funzione f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} nel piano cartesiano è una parabola, la cui concavità dipende dal segno di a {\displaystyle a} . Più precisamente: se a > 0 {\displaystyle a>0} la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, se a < 0 {\displaystyle a<0} la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

Un'equazione (dal latino aequatio) è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite. L'uso del termine risale almeno al Liber abbaci del Fibonacci (1228). Se un'equazione ha n {\displaystyle n} incognite, allora ogni n {\displaystyle n} -upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una soluzione dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.