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In matematica, il limite di una funzione in un punto x 0 {\displaystyle x_{0}} di accumulazione per il suo dominio è un modo per esprimere la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a x 0 {\displaystyle x_{0}} . Indicando con f ( x ) {\displaystyle f(x)} la funzione, il limite viene indicato con la notazione: lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)} In altri termini, lim x → x 0 f ( x ) = l {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l} significa che quando il valore di x {\displaystyle x} si avvicina a x 0 {\displaystyle x_{0}} , esprimibile con x → x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} , il valore f ( x ) {\displaystyle f(x)} assunto dalla funzione si avvicina a l {\displaystyle l} , cioè f ( x ) → l {\displaystyle f(x)\to l} . Il valore l {\displaystyle l} può essere finito ( l ∈ R {\displaystyle l\in \mathbb {R} } ), infinito ( ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } ) o non esistere affatto. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore. Il concetto di limite di una funzione viene generalizzato da quello di limite di un filtro, mentre un caso particolare è quello di limite di una successione di punti in uno spazio topologico.

Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione f {\displaystyle f} , denotato con ∇ f {\displaystyle \nabla f} (il simbolo ∇ {\displaystyle \nabla } si legge nabla), è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore v → {\displaystyle {\vec {v}}} , il prodotto scalare v → ⋅ ∇ f {\displaystyle {\vec {v}}\cdot \nabla f} dà il valore della derivata direzionale di f {\displaystyle f} rispetto a v → {\displaystyle {\vec {v}}} . In fisica, il gradiente di una grandezza scalare si usa per descrivere come quest'ultima vari in funzione dei suoi diversi parametri. Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione.

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} , la relazione è indicata con f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} e l’elemento associato a x ∈ X {\displaystyle x\in X} tramite la funzione f {\displaystyle f} viene abitualmente indicato con f ( x ) {\displaystyle f(x)} (si pronuncia “effe di x”).