biblio toscana

Leonardo Pisano detto il Fibonacci (Pisa, settembre 1170 circa – Pisa, 1242 circa) è stato un matematico italiano. È considerato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Con altri dell'epoca contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell'età tardo-antica e dell'Alto Medioevo. Con lui, in Europa, ci fu l'unione fra i procedimenti della geometria greca euclidea (gli Elementi) e gli strumenti matematici di calcolo elaborati dalla scienza araba (in particolare egli studiò per la parte algebrica il Liber embadorum dello studioso ebreo spagnolo Abraham ibn ‛Ezra).

Il Flos Leonardi Bigolli Pisani super solutionibus quarundam questionibus ad numerum et ad geometriam, vel ad utrumque pertinentium, (il Fiore di Leonardo Bigollo Pisano sulle soluzioni di certe questioni concernenti l'aritmetica e la geometrica, ovvero entrambe le discipline) è un trattato privo dell'anno di composizione e contenuto all'interno del ms. E 75 Sup. della Veneranda Biblioteca Ambrosiana di Milano. Il codice presenta due epistole di dedica, la prima delle quali è indirizzata a Raniero Capocci di Viterbo, cardinale diacono del titolo di Santa Maria in Cosmedin a partire dal 1212 o dal 1213, mentre la seconda è destinata all'imperatore Federico II di Hohenstaufen. Nel 1240 l'imperatore Federico II di Hohenstaufen si impadronì della città di Viterbo e vi pose un presidio, ma appena tre anni dopo, nel 1243, la città insorse avendo a capo anche il cardinale Raniero Capocci. In seguito, concluso sotto Innocenzo IV il concilio di Lione, Raniero Capocci promulgò contro Federico la sentenza di privazione del potere temporale. Sorprende, perciò, che dopo la lettera di dedica al cardinale Capocci segua nel Flos anche una seconda epistola, rivolta stavolta all’imperatore Federico, acerrimo nemico del Capocci: «Il problema proposto da Maestro Giovanni chiedeva di trovare un numero quadrato tale che, aggiungendogli e sottraendogli il numero cinque, si ottenesse ancora un numero quadrato. Leonardo trovò che il numero 11+2/3+1/144, quadrato di 3+1/4+1/6, è una soluzione del problema e la comunicò al suo interlocutore. Egli tuttavia continuò a meditare sul problema e più in generale sulle proprietà dei numeri quadrati, pervenendo a una serie di importanti risultati raccolti nel Liber quadratorum che dedicò all’imperatore».

La successione di Fibonacci (detta anche successione aurea), indicata con F n {\displaystyle F_{n}} o con F i b ( n ) {\displaystyle Fib(n)} , in matematica indica una successione di numeri interi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti, eccetto i primi due che sono, per definizione: F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} e F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} . Questa successione è definita ricorsivamente secondo la seguente regola: F 0 = 0 , {\displaystyle F_{0}=0,} F 1 = 1 , {\displaystyle F_{1}=1,} F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} (per ogni n>1)Gli elementi F n {\displaystyle F_{n}} sono anche detti numeri di Fibonacci. I primi termini della successione di Fibonacci, che prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci, sono: 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , … {\displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,\dots }

Il Liber quadratorum di Leonardo Fibonacci è un importante trattato di argomento algebrico in lingua latina. L'opera, che fu pubblicata intorno al 1225, si apre con un'epistola di dedica a Federico II di Hohenstaufen, in cui si afferma che fu il maestro Domenico, già destinatario della Practica geometriae, a presentare il matematico all'imperatore: Nel Liber quadratorum Fibonacci discute la risoluzione di due quesiti: il primo, che gli fu posto dal maestro Giovanni da Palermo, consiste nel calcolare un numero quadrato tale che, aumentato o diminuito di cinque, dia come risultato un numero quadrato; il secondo, che invece gli fu posto dal maestro Teodoro di Antiochia, consiste nel rinvenire tre numeri «tali che la loro somma, aggiunta al quadrato del primo, sia un numero quadrato; che questo numero quadrato, aumentato del quadrato del secondo, sia un numero quadrato e che anche quest’ultimo, sommato al quadrato del terzo, dia un quadrato (equazioni pitagoriche)»

La storia della matematica ha origine con il concetto di numero e con le prime scoperte matematiche, proseguendo attraverso l'evoluzione nel corso dei secoli dei propri metodi e delle notazioni matematiche il cui uso si sussegue nel tempo. Un aspetto importante della matematica consiste nel fatto che essa si è sviluppata indipendentemente in culture completamente differenti arrivando in molti casi agli stessi risultati: spesso un contatto o una reciproca influenza tra popoli differenti ha portato all'introduzione di nuove idee e a un avanzamento delle conoscenze matematiche, a volte si è visto invece un regredire improvviso della cultura matematica presso alcuni popoli; la matematica moderna ha invece potuto avvalersi dei contributi di persone di tutti i paesi. L'attività svolta dai matematici moderni è molto diversa da quella dei primi matematici delle civiltà antiche; inizialmente la matematica si basò sul concetto di numero, concetto sviluppatosi nella preistoria. La matematica è stata infatti una tra le prime discipline a svilupparsi: evidenze archeologiche mostrano la conoscenza rudimentale di alcune nozioni matematiche molto prima dell'invenzione della scrittura.

La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore a {\displaystyle a} è medio proporzionale tra la minore b {\displaystyle b} e la somma delle due ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} : a + b a = a b = def φ {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi } Valgono pertanto le seguenti relazioni: a b = a + b a = 1 + b a = 1 + 1 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\frac {a}{b}}}} Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di φ {\displaystyle \varphi } possiamo anche scrivere φ = 1 + 1 φ {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}            (1)da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi φ 2 − φ − 1 = 0 {\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}          (2)La soluzione positiva di tale equazione (unica ammissibile essendo φ {\displaystyle \varphi } una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da: φ = 1 + 5 2 ≈ 1,618 0339887 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887} (3)La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ovvero non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi ( 3 2 , 5 3 , 8 5 , . . . ) {\displaystyle ({\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},...)} della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa. I due segmenti a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a ( 1 2 a + 5 2 a ) {\displaystyle ({\frac {1}{2}}a+{\frac {\sqrt {5}}{2}}a)} e la sua altezza è pari ad a {\displaystyle a} : il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea. Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla φ {\displaystyle \varphi } a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a φ {\displaystyle \varphi } otteniamo la frazione continua: φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + . . . {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}} Un'altra rappresentazione di φ {\displaystyle \varphi } come frazione continua è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo: φ = 1 + 1 1 2 + 1 2 1 2 + 2 2 2 2 + 6 2 3 2 + 15 2 5 2 + 40 2 8 2 + 104 2 13 2 + . . . {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1^{2}+{\frac {1^{2}}{1^{2}+{\frac {2^{2}}{2^{2}+{\frac {6^{2}}{3^{2}+{\frac {15^{2}}{5^{2}+{\frac {40^{2}}{8^{2}+{\frac {104^{2}}{13^{2}+...}}}}}}}}}}}}}}} Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.

Leonardo di ser Piero da Vinci (Anchiano, 15 aprile 1452 – Amboise, 2 maggio 1519) è stato un inventore, artista e scienziato italiano. Uomo d'ingegno e talento universale del Rinascimento, considerato uno dei più grandi geni dell'umanità, incarnò in pieno lo spirito della sua epoca, portandolo alle maggiori forme di espressione nei più disparati campi dell'arte e della conoscenza: fu infatti scienziato, filosofo, architetto, pittore, scultore, disegnatore, trattatista, scenografo, anatomista, botanico, musicista, ingegnere e progettista.