biblio toscana

Leonardo Pisano detto il Fibonacci (Pisa, settembre 1170 circa – Pisa, 1242 circa) è stato un matematico italiano. È considerato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Con altri dell'epoca contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell'età tardo-antica e dell'Alto Medioevo. Con lui, in Europa, ci fu l'unione fra i procedimenti della geometria greca euclidea (gli Elementi) e gli strumenti matematici di calcolo elaborati dalla scienza araba (in particolare egli studiò per la parte algebrica il Liber embadorum dello studioso ebreo spagnolo Abraham ibn ‛Ezra).

Il Liber abbaci, noto anche come Liber abaci, è un trattato di argomento matematico. Scritto in latino medievale nel 1202 dal matematico pisano Leonardo Fibonacci, che nel 1228 ne pubblicò una seconda stesura, ha svolto un ruolo fondamentale nella storia della matematica occidentale ed è ritenuto uno dei libri più importanti e fecondi del Medioevo.Il Liber abbaci è un ponderoso trattato di aritmetica e algebra con il quale, all'inizio del XIII secolo, Fibonacci ha introdotto in Europa il sistema numerico decimale indo-arabico e i principali metodi di calcolo ad esso relativi. Il libro non tratta l'utilizzo dell'abaco, sicché il suo titolo può essere tradotto in Libro del calcolo: dato che abaco per i greci, i romani e i maestri d'abaco dei secoli precedenti era uno strumento di calcolo, secondo alcuni studiosi il titolo non sarebbe autoriale, per quanto non vi siano dubbi che il Fibonacci abbia in effetti riservato questa denominazione all'aritmetica-algebra applicativa in genere. Su questo trattato, per oltre tre secoli, si formeranno maestri e allievi della scuola toscana. L'equilibrio fra teoria e pratica era di fatto raggiunto. Fibonacci dice: "Ho dimostrato con prove certe quasi tutto quello che ho trattato". Quando Fibonacci scrisse il trattato, in Europa gli scritti di matematica avanzata erano quasi del tutto inesistenti, a parte le traduzioni delle opere classiche (gli Elementi di Euclide, per esempio), che però erano ancora molto poco diffuse, e i cosiddetti Algorismi, scritti di aritmetica latina che prendevano il nome dal matematico al-Khwarizmi. Fibonacci compì un'operazione unica, diversa da quelle degli Arabi, se non per l'originalità certo per la mole. La prima edizione a stampa del Liber abbaci è stata curata da Baldassarre Boncompagni Ludovisi nel 1857, che si basò su un manoscritto di XIV secolo recante al suo interno una versione databile al 1228.

La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore a {\displaystyle a} è medio proporzionale tra la minore b {\displaystyle b} e la somma delle due ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} : a + b a = a b = def φ {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi } Valgono pertanto le seguenti relazioni: a b = a + b a = 1 + b a = 1 + 1 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\frac {a}{b}}}} Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di φ {\displaystyle \varphi } possiamo anche scrivere φ = 1 + 1 φ {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}            (1)da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi φ 2 − φ − 1 = 0 {\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}          (2)La soluzione positiva di tale equazione (unica ammissibile essendo φ {\displaystyle \varphi } una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da: φ = 1 + 5 2 ≈ 1,618 0339887 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887} (3)La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ovvero non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi ( 3 2 , 5 3 , 8 5 , . . . ) {\displaystyle ({\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},...)} della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa. I due segmenti a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a ( 1 2 a + 5 2 a ) {\displaystyle ({\frac {1}{2}}a+{\frac {\sqrt {5}}{2}}a)} e la sua altezza è pari ad a {\displaystyle a} : il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea. Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla φ {\displaystyle \varphi } a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a φ {\displaystyle \varphi } otteniamo la frazione continua: φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + . . . {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}} Un'altra rappresentazione di φ {\displaystyle \varphi } come frazione continua è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo: φ = 1 + 1 1 2 + 1 2 1 2 + 2 2 2 2 + 6 2 3 2 + 15 2 5 2 + 40 2 8 2 + 104 2 13 2 + . . . {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1^{2}+{\frac {1^{2}}{1^{2}+{\frac {2^{2}}{2^{2}+{\frac {6^{2}}{3^{2}+{\frac {15^{2}}{5^{2}+{\frac {40^{2}}{8^{2}+{\frac {104^{2}}{13^{2}+...}}}}}}}}}}}}}}} Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.

Leonardo è un nome proprio di persona italiano maschile.

L'Albero di Fibonacci è un albero AVL che, data una determinata altezza, ha il minor numero possibile di nodi mantenendo il bilanciamento. Questo particolare tipo di albero prende il nome dall'omonimo matematico Leonardo Fibonacci. L'albero ha infatti le caratteristiche della famosa successione, è infatti intrinsecamente ricorsivo. Lo si evince dal fatto che qualsiasi albero di Fibonacci di altezza h può essere costruito a partire da una radice e da un sottoalbero di altezza h-2 come sottoalbero destro e h-1 come sottoalbero sinistro. Si verifica intuitivamente e visivamente che il coefficiente di bilanciamento di ogni singolo nodo dell'albero è +1. Quindi questa categoria di alberi è quella che più si avvicina alla condizione di sbilanciamento, pur essendo ovviamente ancora bilanciato.

In matematica, un numero primo (in breve anche primo) un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si pu definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per s stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia pi di due divisori detto composto. Ad esempio 2, 3 e 5 sono primi mentre 4 e 6 non lo sono perch sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero primo pari 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2. La successione dei numeri primi comincia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 Quello di numero primo uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: l'importanza sta nella possibilit di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonch l'unicit di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione tuttora oggetto di molte ricerche. I numeri primi sono oggetto di studio fin dall'antichit : i primi risultati risalgono infatti agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, scritti attorno al 300 a.C. Ciononostante, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le pi note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli, indimostrate a pi di un secolo dalla loro formulazione. Essi sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia.

In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e ordinare. Nel linguaggio comune i "numeri cardinali" sono quelli usati per contare e i "numeri ordinali" sono quelli usati per ordinare. I numeri naturali corrispondono all'insieme {0, 1, 2, 3, 4, …}. Essi vengono fatti corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, …}. Talvolta vengono usati anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi {1, 2, 3, 4, …}.

In matematica, un numero decimale periodico è un numero razionale che espresso in notazione decimale ha una stringa (finita) di cifre dopo la virgola che, da un certo punto in poi, si ripete all'infinito. Questa stringa ripetuta è detta periodo del numero. Molti numeri periodici hanno una stringa (finita) di cifre che non si ripete, prima che inizi il periodo, tale stringa non ripetuta è detta antiperiodo. Dato che la rappresentazione decimale del numero è infinita esistono, principalmente, due convenzioni per scrivere il numero in forma compatta. Si pone una linea continua sopra le cifre del periodo oppure si racchiudono le cifre che si ripetono tra parentesi tonde. Ad esempio 23,48771=23,4(8771)=23,487718771877187718771… Ogni numero decimale periodico, essendo una particolare rappresentazione di un numero razionale, può essere rappresentato mediante una frazione. Vale anche il viceversa, cioè che ogni numero razionale è periodico e quindi ogni frazione può essere espressa mediante un numero decimale periodico. Questo è immediato osservando che ogni numero con parte decimale finita in realtà è periodico di periodo 0. Ad esempio scrivendo 2,5=2,50=2,50000…