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La trigonometria sferica è un ramo della geometria sferica che si occupa delle relazioni tra lati ed angoli dei poligoni ed in particolare dei triangoli costruiti su una sfera. È di notevole importanza per i calcoli astronomici e per la navigazione sia aerea che terrestre. Il primo trattato di trigonometria sferica è stato scritto da Al-Jayyani, un matematico arabo, nel 1060 d.C.

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): risoluzione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica. Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

In trigonometria, il teorema della corda esprime la lunghezza della corda tracciata lungo una circonferenza e l'angolo sotteso dalla corda stessa. Data una circonferenza di raggio R {\displaystyle R} , e una corda tracciata tra due punti A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} della circonferenza, l'angolo sotteso dalla corda stessa con vertice al centro della circonferenza è detto angolo al centro; ciascun angolo sotteso dalla corda e con vertice sulla circonferenza è detto angolo alla circonferenza A B ¯ = 2 R sin ⁡ α = 2 R sin ⁡ β 2 {\displaystyle {\overline {AB}}=2R\ \sin \alpha =2R\ \sin {\frac {\beta }{2}}} ,dove α {\displaystyle \alpha } è l'angolo alla circonferenza e β {\displaystyle \beta } è l'angolo al centro. Osserviamo che una corda sottende due tipi diversi di angoli alla circonferenza: la corda taglia infatti la circonferenza in due parti. Gli angoli che hanno il vertice sulla parte più grande sono acuti, quelli con il vertice sulla parte più piccola sono ottusi. Poiché la somma di un angolo del primo tipo con un angolo del secondo tipo è un angolo piatto, si ha che sin ⁡ α 1 = sin ⁡ ( π − α 2 ) = sin ⁡ α 2 {\displaystyle \sin \alpha _{1}=\sin(\pi -\alpha _{2})=\sin \alpha _{2}} ,per cui l'enunciato del teorema non presenta alcuna ambiguità.

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti. Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole. a = B C ¯ , α = C A ^ B {\displaystyle a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B} b = A C ¯ , β = A B ^ C {\displaystyle b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C} c = A B ¯ , γ = B C ^ A {\displaystyle c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A} Vale quindi a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = a b c 2 S = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R} dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone. La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo: a : b : c = sin ⁡ α : sin ⁡ β : sin ⁡ γ {\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma } .

In matematica, in particolare in trigonometria, la tangente è una funzione trigonometrica definita come la proiezione sull'asse y {\displaystyle y} del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} ; molto spesso è anche definita come il rapporto tra il seno e il coseno del medesimo angolo. Convenzionalmente tale funzione viene indicata come tan (più raramente tg).

In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa. Più in generale il seno di un angolo α {\displaystyle \alpha } , espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α {\displaystyle \alpha } , costruita usando la circonferenza unitaria. Definendo come sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} il seno nell'angolo x {\displaystyle x} si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica. In ambito italiano questa funzione viene spesso indicata con s e n ( x ) {\displaystyle \mathrm {sen} (x)} .

In matematica, le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni. Sono spesso definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo e, equivalentemente, possono essere definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal cerchio unitario. Definizioni più moderne li esprimono come serie infinite o come soluzioni di certe equazioni differenziali, ottenendo la loro estensione a valori positivi o negativi e anche ai numeri complessi. Tutti questi differenti approcci sono presentati di seguito. Lo studio delle funzioni trigonometriche risale ai tempi dei babilonesi, e una quantità considerevole del lavoro fondamentale fu svolto dai matematici greci, indiani e persiani. Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche di base, che sono elencate sotto insieme alle identità che le mettono in relazione. Specialmente per le ultime quattro, queste relazioni sono spesso prese come definizioni di quelle funzioni, sebbene sia ugualmente possibile definirle geometricamente o per altre vie, e solo in seguito derivare queste relazioni. Poche altre funzioni erano comuni in passato (e figuravano nelle vecchie tabelle) ma sono oggi poco usate, come il senoverso (1 − cos θ) e l'exsecante (sec θ − 1). Molte altre relazioni notevoli fra queste funzioni sono elencate nella voce sulle identità trigonometriche.

Questa pagina si prefigge di costituire un glossario di trigonometria che consenta di rintracciare in maniera più agevole gli articoli di tale settore della matematica.

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia: sec ⁡ α = 1 cos ⁡ α . {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}.}